일상에서 종종 이런 대화를 들어 봤을 것이다.

"팀장님이 분명 나한테 불만이 있는 것 같아. 어젯밤에 메시지를 보냈는데 하루가 지나도록 답이 없어."

"저 둘은 틀림없이 사귀고 있어. 퇴근할 때 두 사람이 같이 가는 걸 여러 번 봤거든."

"회사 매출이 부진한 이유는 분명 제품 품질에 문제가 생겼기 때문일 거야."

의도했든 아니든, 이들은 모두 흑백 논리로 정보를 추론하고 있다. 흑백 논리에 익숙한 사람은 어떤 일이 일어난 원인은 오직 하나이며, 그 원인은 자신이 생각하는 바로 그 원인이다라는 믿음을 무의식적으로 가지고 있다.

흑백 논리를 기반으로 정보를 추론하는 사람의 특징은 이렇다. 그들은 단 하나의 원인을 제시한 뒤, 그 원인을 뒷받침할 증거를 찾아 자신이 내린 결론을 정당화하려고 한다. 흑백 논리에 의한 사고는 대체로 다음과 같이 이뤄진다.

(1) 한 가지 사건 또는 현상을 목격한다.

(2) 머릿속에서 즉각적으로 한 가지 원인이 떠오른다. 이 원인은 목격한 사건이나 현상을 부분적으로 설명할 수는 있지만, 그것이 실제 원인이라고 단언할 수는 없다.

(3) 머릿속으로 이 원인이 확실하다는 것을 뒷받침할 다른 증거를 찾는다. 그리고 점점 더 자신이 말한 그 원인이 옳다고 확신하게 된다.

『한비자』에 수록된 〈지자의린, 아들은 지혜롭다고 칭찬하고 이웃은 도둑으로 의심한다)〉 이야기를 살펴보자. 내용은 다음과 같다.

송나라에 어떤 부자가 있었다. 어느 날 비가 많이 내려 그 집의 담장이 무너졌다. 그 모습을 본 부자의 아들이 말했다. "담장을 고치지 않으면 분명 도둑이 들 것입니다." 마침 지나가던 이웃집 노인도 같은 말을 건넸다. 그리고 그날 밤 부잣집에 정말로 도둑이 들어 많은 재물을 훔쳐 갔다. 부자는 담장을 고쳐야 한다고 말했던 아들은 지혜롭다고 칭찬하면서도, 같은 말을 했던 이웃집 노인은 도둑이 아닐지 의심했다.

이 부자의 사고방식이 바로 전형적인 흑백 논리에 의한 사고다. 많은 재물을 도둑맞은 뒤, 그의 머릿속에서는 다음과 같은 흐름으로 사고가 이어졌다.

(1) 나는 재물을 도둑맞았다. (목격한 현상)

(2) 아마도 이웃집 노인이 훔쳐 갔을 것이다. (한 가지 원인을 제시)

(3) 이전에 그 노인은 "담장을 고치지 않으면 도둑이 들 것이다."라고 말했다. 이런 말을 내게 했다는 건, 애초에 그 노인이 우리 집 재물을 훔칠 마음을 먹고 있었던 게 아닐까? (증거 수집)

(4) 그 노인이 훔쳐 간 게 분명하다. (자신이 제시한 원인을 합리화)

〈지자의린〉에 등장하는 부자의 행동을 보고 다들 어리석다고 비웃겠지만, 실제로 많은 사람이 본질적으로는 이와 비슷한 사고방식을 가지고 있다.

그러나 현실 세계는 다양한 요소와 관점이 얽혀 있으므로 현실에서 일어나는 모든 상황을 흑백 논리로 바라보면 그 상황을 제대로 이해하거나 해결하기 어려울 수 있다. 그 이유는 다음과 같다.

첫째, 아무 상관관계도 없는 여러 원인이 하나의 동일한 사건을 초래할 수도 있기 때문이다. 따라서 우리는 어떤 사건을 목격했을 때 단 하나의 원인에만 초점을 두지 말고 가능성이 있는 모든 원인을 고려해야 한다.

앞서 언급된 사례를 예로 들어 보자. 상사에게 메시지를 보냈는데 하루가 지나도 답이 없었다는 상황은 상사가 당신에게 불만이 있다는 뜻이 아닐 수도 있다. 단순히 너무 바빠서 메시지 회신을 깜빡했을 가능성도 있다. 마찬가지로 두 남녀가 자주 같이 퇴근한다고 해서 그 둘이 꼭 사귀는 사이라고 단정할 수 없다. 그저 집에 가는 길이 같아서 함께 가는 것일 수도 있다.

지자의린 고사에 등장하는 부자 역시 재물을 도둑맞은 상황에서 단 하나의 원인에만 꽂혀 이웃집 노인은 도둑이다라는 결론을 내리고 다른 가능성은 전혀 고려하지 않았다. 이웃집 노인은 그저 좋은 마음으로 조언해 준 것일 뿐, 부자의 재물을 훔친 자는 정작 다른 이일 수도 있기 때문이다.

둘째, 흑백 논리에 갇히면 처음 머릿속에 떠오른 원인이 곧 최종 결론이 되어버린다. 이 점이 바로 흑백 논리가 가진 가장 큰 문제다. 한 가지 원인에만 꽂혀 다른 가능성을 고려하지 않는 경우, 이후 수집한 모든 증거는 그 원인을 정당화하기 위한 도구에 불과하기 때문이다.

흑백 논리와 대비되는 사고방식이 바로 확률적 사고다. 확률적 사고를 가진 사람은 다음과 같은 단계로 사고한다.

(1) 어떤 사건이나 현상을 목격한다.

(2) 가능성이 있는 모든 원인을 최대한 찾아본다.

(3) 관련이 있는 모든 증거를 최대한 수집한다.

(4) 수집한 증거를 바탕으로 가능성이 있다고 판단한 각 원인의 확률을 계산한다. 그리고 확률이 가장 큰 원인을 최종 원인으로 선택한다.

확률적 사고는 흑백 논리와 비교했을 때 적어도 세 가지 장점이 있다.

첫째, 확률적 사고를 하는 사람은 정보 추론을 할 때 가능성이 있는 모든 원인을 고려 대상에 포함시킨다. 반면 흑백 논리로 생각하는 사람은 단 하나의 원인만을 고려하며, 이후 수집한 모든 증거는 처음에 생각한 그 원인을 정당화하는 데 사용한다. 그런 점에서 확률적 사고는 잠재적인 원인을 놓칠 가능성이 훨씬 낮다. 만약 지자의린 속 부자가 이웃집 노인 외에도 지나가던 좀도둑, 마을 내 상습범 등을 용의자에 포함시켰다면, 성급하게 잘못된 결론을 내리지 않았을 것이다.

둘째, 확률적 사고를 하는 사람은 초기 추론 이후에도 새롭게 수집된 증거를 추론에 반영하여, 각 원인이 실제로 사건을 일으켰을 확률을 재조정한다. 이렇게 수집된 증거를 바탕으로 각 원인의 확률을 점진적으로 수정하며, 결국 가장 높은 확률을 가진 원인을 최종 원인으로 판단한다. 또한 수집한 증거의 양이 많을수록, 신뢰도가 높은 증거일수록 더 정확한 확률 계산이 가능해지며, 결과적으로 사건의 진실에 가까워질 가능성이 높아진다.

셋째, 확률적 사고를 통해 도출되는 결론은 흑백 논리로 얻은 결론보다 훨씬 더 풍부한 정보를 담고 있다. 확률적 사고는 모든 가능한 원인에 대해 각 확률을 제시하는 반면, 흑백 논리는 단 하나의 원인만을 제시하기 때문이다.

흑백 논리는 사람들이 흔히 빠지는 보편적인 사고방식이다. 사람들은 흑백 논리로 정보를 추론할 때 한 가지 원인에만 꽂혀 새롭게 관측한 현상들조차 그 원인을 정당화하는 데 사용한다. 그리고 결국 최종 결론은 "100% 이게 원인이다."라는 식으로 귀결된다.

그러나 현실에서 벌어지는 일들은 모 아니면 도, 이것 아니면 저것처럼 단순하게 구분되지 않는다. 왜냐하면 서로 다른 여러 원인이 하나의 사건을 초래할 수 있고, 수집한 증거가 불완전하거나 제한적일 때가 많아 사건의 원인을 100% 단정하기 어려운 경우가 많기 때문이다. 이럴 때 우리는 확률적 사고를 사용해야 한다. 먼저 가능성이 있는 모든 원인을 찾아내고, 그다음 수집한 증거를 바탕으로 각 원인이 사건을 일으켰을 확률을 계산한 뒤 가장 높은 확률을 가진 원인을 최종 결론으로 선택해야 한다.

과거 공자는 무의, 무필, 무고, 무아라는 가르침을 남겼다. 이는 억측하지 말고, 단정하지 말 것이며, 고집부리지 않고, 아집에 빠지지 말라는 뜻이다. 이 중에서도 확률적 사고와 가장 밀접한 의미를 지닌 것이 바로 무필이다.

토머즈 베이즈는 1701년에 런던에서 태어나 1761년에 세상을 떠났다. 그는 18세기 런던의 장로교 목사이자 아마추어 수학자였다. 베이즈는 생전에 자신이 정리한 수학 이론을 발표한 적이 없었으므로 동시대에는 거의 알려지지 않았다. 그러나 베이즈가 세상을 떠난 뒤 그의 친구였던 리처드 프라이스가 베이즈의 「확률 이론의 특정 문제를 해결하기 위한 논문」을 정리해 발표했고, 이를 계기로 베이즈 이론의 확률 통계학의 중요한 이론으로써 세상에 알려지게 되었다. 그럼 지금부터 베이즈가 후대에 남긴 중요한 이론인 베이즈 정리에 대해 알아보자.

베이즈 정리는 베이즈 공식이라고도 부르며, 기본 형태는 다음과 같다.

P(A＼B) = P(A)P(B＼A)

P(B)

보다시피 베이즈 정리는 조건부 확률을 계산하는 공식이다. 그러나 실제로 베이즈 정리는 어떤 현상 뒤에 숨겨진 원인을 찾는 데 가장 많이 활용된다. 즉, 우리는 베이즈 정리를 활용해 정보를 추론할 수 있다는 얘기다.

베이즈 정리를 이용한 정보 추론 역시 확률적 사고의 한 형태다. 정보를 추론하는 과정을 하나의 수학 문제로 추상화하면, 최대 우도법을 이용한 정보 추론과 베이즈 정리를 이용한 정보 추론의 차이를 좀 더 명확하게 이해할 수 있다.

정보 추론이란 어떤 현상을 목격한 후 그 현상의 배후에 있는 가장 가능성 높은 원인을 찾는 과정이다. 여기서 그 현상의 배후에 있는 가장 가능성 높은 원인을 결정하는 과정은 두 단계로 나눌 수 있다.

첫째, 어떤 현상을 목격한 후, 그 현상을 초래했을 가능성이 있는 여러 원인의 확률을 계산한다. 둘째, 가장 높은 확률을 가진 원인을 선택한다. 여기서 우리가 기억해야 할 것이 있다. 관측된 현상을 특정 원인이 초래했을 확률은 조건부 확률이라는 것이다.

정리하자면 정보 추론의 핵심은 관측된 현상을 설명할 수 있는 여러 원인에 대해 각각의 조건부 확률을 계산하고, 그것들의 상대적인 크기를 비교하여 가장 가능성이 높은 원인을 판단하는 것이다.

최대 우도법은 먼저 각 원인의 우도(가능성)를 계산한 다음, 우도가 가장 높은 원인을 선택하는 방법이다. 여기서 우도란, 어떤 원인이 발생했을 때 해당 현상이 관측될 확률을 의미한다. 우도 역시 조건부 확률의 형태로 표현할 수 있다.

정보 추론은 조건부 확률 P(원인ichr(124)_pipe관측된 현상)를 기준으로 확률이 가장 큰 원인을 선택한다면, 최대 우도법은 조건부 확률 P(관측된 현상chr(124)_pipe원인i)를 기준으로 확률이 가장 큰 원인을 선택한다. 자세히 보면, 이 두 조건부 확률은 chr(124)_pipe 기호의 좌우가 정반대임을 알 수 있다.

따라서 최대 우도법은 우도를 이용해 조건부 확률 P(관측된 현상chr(124)_pipe원인i)의 근삿값을 구하는 방법이라고도 볼 수 있다. 또 그렇기 때문에 최대 우도법은 특정 상황에서 잘못된 판단을 내릴 가능성이 존재한다.

베이즈 정리에는 세 가지 확률이 포함되어 있다. 바로 사후 확률, 사전 확률 그리고 우도이다. 사후 확률이란, 우리가 최종적으로 알고자 하는 값으로, 특정 현상의 원인을 최종적으로 결정할 때 근거로 사용된다. 사전 확률이란, 해당 원인이 실제로 발생할 확률을 의미한다. 마지막으로 우도란, 특정 원인이 주어졌을 때, 그 원인이 관측된 현상을 얼마나 잘 설명하는지를 나타낸다.

만약 관측된 현상을 초래했을 것이라 예상되는 원인이 여러 개이고 그중 하나를 선택해야 한다면, 베이즈 정리는 사전 확률과 우도의 곱이 가장 큰 원인을 선택하라고 말한다. 즉, 베이즈 정리를 통해 선택된 원인은 목격된 현상이 그 원인에 의해 발생했음을 논리적으로 설명할 수 있어야 하며, 실제로도 그 원인으로 인해 유사한 현상이 자주 발생했었어야 한다. 반면 최대 우도법으로 선택된 원인은 그 현상이 관측된 이유를 가장 논리적으로 설명할 수 있는 원인이다.

최대 우도법과 비교했을 때, 베이즈 정리의 가장 큰 차별점은 바로 사전 확률을 고려한다는 점이다. 최대 우도법은 사실상 가능성이 있는 모든 원인의 사전 확률이 동일하다는 가정을 전제로 한다. 반면 베이즈 정리는 원인마다 사전 확률이 다를 수 있음을 고려한다. 따라서 베이즈 정리를 활용하면 우리 주변에서 일어나는 수많은 현상을 보다 정교하게 분석할 수 있다

2002년 노벨 경제학상을 수상한 대니얼 카너먼은 그의 저서 「생각에 관한 생각」에서 한 가지 예시를 들며 외부 관점이라는 개념을 제시했다. 카너먼은 이스라엘에 머무르던 당시, 판단과 의사 결정을 주제로 한 강의를 개설하기 위해 팀을 구성했다.

이들은 상세한 강의 계획을 세우고 교재 전반부의 일보를 작성해 둔 상태였다. 그러던 중 카너먼은 완성된 교재를 교육부에 제출하는 데 얼마나 걸릴지 궁금했다. 그는 회의에서 팀원들에게 각자가 생각하는 예상 기간을 물었다. 대부분의 팀원은 약 2년 남짓 걸릴 것이라고 예상했다. 그밖에는 최소 1년 반, 최대 2년 반이 걸릴 것이라고 예상했다.

그때 카너먼은 문득 새로운 아이디어가 떠올랐다. 그는 당시 강좌 개발 전문가였던 히브리대학교 교육학부 학장인 세이모어 폭스에게 물었다. “저희처럼 예전에 교재 초안을 작성해 본 팀을 알고 계시나요? 그렇다면 그 팀들은 교재를 완성하는 데 얼마나 걸렸나요?” 폭스는 잠시 고민하더니 대답했다. “사실 당시 우리와 진행 상황이 비슷했던 팀들이 모두 과제를 완수했던 건 아니에요. 약 40%의 팀들은 결국 계획을 완수하는 데 실패했어요.”

이에 카너먼은 한 번 더 물었다. “그럼 성공한 팀들은 교재를 완성하는 데 얼마나 걸렸나요?” 폭스가 대답했다. “7년 안에 끝낸 팀은 하나도 없었어요. 가장 오래 걸린 팀은 10년 만에 끝냈어요.”

마지막으로 카너먼이 물었다. “다른 팀들과 비교했을 때, 저희 팀의 능력과 자원은 대략 어느 정도 수준이라고 보시나요?” 폭스는 이번에는 망설임 없이 대답했다. “평균 이하이긴 하지만, 그렇다고 아주 많이 뒤처지는 정도는 아니에요.”

이 사례는 같은 문제를 다른 관점에서 바라보면 전혀 다른 결론에 도달할 수 있음을 보여 준다. 첫 번째 관점은 내부 관점이다. 위 사례에서 카너먼 팀의 구성원들은 자신의 경험을 바탕으로, 즉 내부 관점으로 교재 완성 시간을 추정했으며, 이들이 예상한 기간은 1년 반에서 2년 반 사이였다.

두 번째 관점은 외부 관점이다. 위 사례에서 카너먼은 팀 내부 사람들의 주관적인 판단이 아닌 외부 관점, 즉 자신들과 유사한 수준의 팀들이 달성한 통계 데이터를 기반으로 완성 시간을 예측했다. 외부 관점으로 분석한 결과, 교재 완성에 실패할 확률은 40%였고, 완성 기간은 7년에서 10년 사이로 나타났다. 결과적으로 어떤 관점이 더 정확했을까? 위 예시의 경우 외부 관점의 압승이었다. 카너먼 팀이 만들던 교재는 8년 후에 완성되었기 때문이다.

베이즈적 사고로 해석하자면, 외부 관점은 사전 확률에 해당하고, 내부 관점은 우도에 해당한다. 알다시피 베이즈 정리에서 사전 확률은 핵심적인 요소로 작용하므로 외부 관점으로부터 얻은 정보를 활용하면 실제에 더 가까운 사후 확률을 도출할 수 있다.

중국에 노산의 진면목을 알지 못하는 이유는 내가 노산 안에 있기 때문이다라는 말이 있다. 산 전체를 보려면 산 밖으로 나와야 한다는 뜻이다. 이 말처럼 우리도 어떤 상황이나 문제를 이해하려면 자신의 주관적인 생각, 즉 내부 관점에서 벗어나 제3의 객관적인 시각인 외부 관점에서 자신을 바라봐야 좀 더 명확한 판단을 내릴 수 있다.